GIAI THỪA
TRONG GIẢI TOÁN
Các bạn thân mến! Đặc biệt là bạn Bích Loan -Hàm Thạnh.
Bạn Loan Viết : … em
chưa hiểu toán Giai thừa. Nó dùng để tính vấn đề gì,
xin Thầy hướng dẫn cho em.
Thú
thật, tôi viết bài “Giải toán” cuộc Thi Đường Lên đỉnh
OLYMPIA là để giải trí với bạn đọc có quan tâm
đến bộ môn Toán, chứ không phải là những bài “DẠY” toán. Chung kết Năm 2014 ĐLĐ OLYMPIA vừa qua, có câu
hỏi: Những số tự nhiên có giai thừa
bằng chính nó ? –Trả lời 1 và 2. Tôi có
nêu qua lý thuyết một chút để giải thích 1! = 1; 2! = 2.
Xin trả lời
câu hỏi của bạn Loan: Công thức giai thừa xuất hiện trong toán như: hoán vị, tổ hợp, chỉnh
hợp, lý thuyết số, giới hạn, số nguyên tố, chuỗi số, lập trình…(Bạn có hình
dung được không? Xin lỗi, nếu ai có học vấn C1 thì khó hiểu lắm đấy!)
A. Lý thuyết: Xin nói lại: Đây không phải là bài học, mà chỉ lý
thuyết một “tí tẹo” thôi. Trong bài viết này, chúng tôi chỉ chú trọng hoán vị,
tổ hợp, chỉnh hợp.
II.Các công thức:
B.THỰC
HÀNH: rất dễ
hiểu!
Bài 1: Hoán vị
Hoán vị: Nói
nôm na là đổi chỗ ngồi (quỳ, đứng,..)
+Ví dụ 1: Có 3 bạn A,B,C
muốn chụp hình làm kỷ niệm, nhưng ai cũng sợ đứng ở giữa. Vậy ông Phó nháy có mấy cách sắp
xếp để vừa không mất lòng khách vừa lấy được nhiều kiểu ảnh
x tiền ?
a. Có các cách sắp xếp: ABC ; ACB ; BAC ; BCA ; CAB, CBA. Có 6 cách.
*Áp dụng: Ta gọi các cách sắp xếp đó là một hoán vị
của 3.
-Chính là (3 giai thừa)
-Mà
3! = 1x2x3 = 6 (cách)
(bạn bắt đầu hình dung rồi đó)
+Ví dụ 2:
Có 6 con tem khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách dán 6 con
tem lên 6 bì thư đã có? Biết mỗi tem mỗi
bì.
Giải
+Tôi đùa
một chút nhé!
-6 tem 6 bì thư, trên thực tế có 6 cách!!!! (ai
nói sai?)
-Không sai nhưng chưa đủ???? Vì
*6 con tem được
sắp xếp theo thứ tự 1,2,3,4,5,6 ( sau đó lại hoán vị thứ tự) ; 6 bì thư cũng
được sắp xếp theo thứ tự 1,2,3,4,5,6 ( sau đó lại hoán vị thứ tự)
*Con tem số
1 có thể dán được 6 lần bì thư (thứ tự thứ nhất của bì thư; rồi lại 6
lần thứ tự thứ hai của bì thư; … cho đến thứ tự thứ 6 của bì thư)
* rồi nó đổi
sang thứ tự thứ 2 và lại tiếp tục dán như trên. Cho nên theo lý thuyết toán học
“Hoán vị” thì nhiều cách dán lắm lắm!!!!!
*Vậy phải áp
dụng Giai thừa thôi:
6! = 5! x 6 =
120 x 6 = 720 (cách dán)
(từ từ bạn sẽ hình dung)
Ví dụ 3: Cần sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E thành một dãy hàng ngang.
a.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
b.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai học sinh A và B luôn
đứng ở hai đầu hàng?
Giải
a.Áp dụng giai thừa : 5! = 120
(cách)
b. Lập luận:
*A
hoặc B đứng đầu (khi A, khi B) thì có 2 cách
2! = 2 (cách)
*3
bạn còn lại tự do thay đổi vị trí thì có:
3! = 6 (cách)
c. Kết luận:
Vậy có để sắp xếp cho A và B luôn
đứng thứ tự 1 hoặc 2 thì có:
2! x 3! = 2 x 6 = 12 (cách)
(Bạn hình dung được chưa
?)
Ví dụ 4: Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập
được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ
? Bao nhiêu số không chia hết 5?
Giải
a.Ta lập luận: có bao nhiêu số tự nhiên được lập
bởi 5 chữ số đã cho:
-5 chữ số đó
phải hoán vị cho nhau để mỗi lần lập được một số. Mỗi số chỉ có 5 chữ số đó
thôi!
-Áp dụng
giai thừa cho mau:
5! = 120 (số)
b.Ta lập luận: Có bao nhiêu số lẻ được lập bởi
các số trên?
+Các số trên
là số lẻ khi có chữ số 1 hoặc 3 hoặc 5 ở vị trí hàng đơn vị : có 3 cách
+Các chữ số còn
lại là 1,2.3.4 thay phiên nhau khi 5 ở hàng đơn vị ; 1,2,4,5 cũng thay phiên nhau
khi 3 ở hàng đơn vị ; 2,3,4,5 cũng thay phiên nhau khi 1 ở hàng đơn vị.
Nói tóm lại khi
1 hoặc 3 hoặc 5 ở hàng đơn vị thì 4 chữ số còn lại hoán vị cho nhau nên có:
4! = 1x2x3x4 = 24 cách
Số các số lẻ được được lập bởi 5 chữ
số 1,2,3,4,5 là
3 x 4! = 3 x 24 = 72 số
c. Ta lập luận: Có bao nhiêu số không chia hết cho 5?
+Chỉ
có chữ số 5 ở hàng đơn vị thì số đó mới chia hết cho 5 nên chỉ có: 1 cách chọn
+Các chữ số còn lại 1,2,3,4 lại phải
thay phiên nhau hoán vị nên có 4! = 24 cách chọn
+vậy có
: 1 x 24 = 24 số chia hết cho 5
*Bao
nhiêu số không chia hết cho 5?
Xin thưa: 120 – 24 = 96 số
C.BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bạn Loan và các bạn giải thử?
Bài 1: Cần sắp xếp 3 học sinh nữ và 5 học
sinh nam thành một hàng dọc,
a.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu
3 học sinh nữ luôn đứng liền nhau?
b.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu
học sinh đứng đầu hàng là học sinh nữ và học sinh cuối hàng là học sinh nam?
Bài 2: Có 4 ông trùm họ: Qua, Tha, The,
lan và 4 ông BTV: Hi, Dao, Thong, Bong cùng ngồi ăn một bàn tròn có 8 chỗ ngồi.
a. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết
các vị trùm họ và BTV ngồi xen kẻ nhau ?
b. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu
các vị trùm họ và BTV ngồi xen kẻ nhau nhưng ông Tha lại không muốn ngồi cạnh
ông Hi (vì ông Hi hay hút thuốc) ?
Chúng
tôi xin chia sẻ 6 bài toán tượng trưng về toán Hoán Vị. Còn nhiều nhiều lắm!
Bài
sau, chúng tôi giải 2 bài toán trên và chia sẻ về Toán Chỉnh hợp
Các
bạn xem đây chỉ là giải trí thôi. Chứ chúng tôi không dám là bài học hoàn chỉnh
đâu!
Thân
chào các bạn và bạn Loan! Chúc các bạn vui khỏe! (thú thực tôi không biết Loan
nào vì nhiều Loan quá! Xin lỗi)
Xin cám ơn Thầy Đặng Trung Hiếu đã Gởi các bài tập toán Hoán vị.
Pet Trần Bảng
Bạn có thích bài viết này...?
|
|
|
Nhận tin miễn phí hằng ngày!
|
Follow us!
|
Comments[ 0 ]
Đăng nhận xét
Giáo xứ đã nhận được góp ý, nhận xét, bài gửi của Quý vị
Xin Thiên Chúa chúc lành cho quý vị.